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2014
惠州二模數(shù)學(xué)答案（理科）
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廣東省惠州市2014屆高三4月模擬考試
數(shù) 學(xué) 試 題 (理科） 2014.04
本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡一并交回．
參考公式：①如果事件互斥，則
②如果事件相互獨(dú)立，則
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1．設(shè)集合=,則集合的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
. . . .
2.不等式的解集為（ ）．
. .
. .
3．若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（ ）
. . . .
4．“”是“函數(shù)的最小正周期為”的（ ）
．充分不必要條件 ．必要不充分條件
�。湟獥l件 ．既不充分也不必要條件
5．如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為
全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，
那么這個(gè)幾何體的體積為 ( )
. . . .
6．程序框圖的運(yùn)算結(jié)果為 ( )
. . . .
7.橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與
線段中點(diǎn)的直線的斜率為，則值為（ ）
． ． ． ．
8.已知滿足則
的最大值為( )
. . . .
二、填空題（本大題共7小題，分為必做題和選做題兩部分．每小題5分，滿分30分）
（一）必做題：第9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
9．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部等于__________.
10．二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是__________.（用數(shù)字作答）
11. 已知變量滿足約束條件, 則的最大值是__________.
12．已知為互相垂直的單位向量，, ,且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 �。�
13. 已知數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列. 類比上述結(jié)論，已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，若= ，則數(shù)列{}也為等比數(shù)列.
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計(jì)前一題的得分．
14．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）若圓的方程為：（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓的圓心極坐標(biāo)為_(kāi)________ ．(極角范圍為)
15．（幾何證明選講）如右圖，是圓外一
點(diǎn)，過(guò)引圓的兩條割線、，
==，=，則=____________．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
16．（本題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）求的值；
（2）若，且，求.
17．（本題滿分12分）
在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為，，的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為、，記．
（1）求隨機(jī)變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
18．（本題滿分14分）
如圖，已知正三棱柱—的底面邊長(zhǎng)是，是側(cè)棱的中點(diǎn)，直線與側(cè)面所成的角為．
（1）求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；
（2）求二面角的余弦值大小.
19．（本題滿分分）
設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知()
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列．
求證：().
20．(本題滿分14分)
平面直角坐標(biāo)系中，直線截以原點(diǎn)為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為
（1）求圓的方程；
（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于、，當(dāng)長(zhǎng)最小時(shí)，求直線 的方程；
（3）設(shè)、是圓上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若直線、分別交于軸于點(diǎn)（）和（），問(wèn)是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
21.（本題滿分分）
已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值集合；
（3）是否存在正數(shù)，使得關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？如果存在，求滿足的條件；如果不存在，說(shuō)明理由.
一．選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A D B B A
1.【解析】集合的子集有、、、.選D.
2.【解析】得：.選B.
3.【解析】．選B.
4.【解析】當(dāng)時(shí),函數(shù)可化為,故周期;反之，函數(shù)可化為，若周期為，則.選A.
5.【解析】可知該幾何體是三棱錐，底面面積為，高為1，故．選D．
6.【解析】當(dāng)時(shí)，,選B．
7.【解析】設(shè)交點(diǎn)分別為、，代入橢圓方程：，由兩式得：，即，，可化簡(jiǎn)為：，即.選B.
8.【解析】已知滿足則可化為
；要求最大值，即求的最值，由基本不等式可知
，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即或
時(shí)，的最大值為.選Ａ.
二．填空題：共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
9． 10． 11． 12．
13． 14． 15．
9.【解析】＝，所以虛部等于.
10．【解析】=，=，當(dāng)則,常數(shù)項(xiàng)為=.
【解析】先畫出可行域（如圖），是可行域內(nèi)的點(diǎn)
與原點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值.
【解析】=，又為銳角，
解得：，.
13. 【解析】由等差數(shù)列的的和，則等比數(shù)列可類比為
﹒的積；對(duì)求算術(shù)平均值，所以對(duì)
﹒求幾何平均值，所以類比結(jié)果為.
14.【解析】圓的圓心為，，又圓心在第一象限，故.圓心的極坐標(biāo)為.
15.【解析】如右圖，是圓外一點(diǎn)，過(guò)引圓的兩條割線PAB、PCD，PA = AB =由圓的割線定理，即,化簡(jiǎn)為
，解得:或（舍去）.
三．解答題
16．（本題滿分12分）
本小題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值。
解（1）依題意得
16. （本題滿分12分）
解：(1) ………………2分
(2) …………4分
…………6分
………8分
…………10分
因?yàn)椋�，所�? ……11分
所以 ………12分
17．（本題滿分分）
本小題考查利用離散型隨機(jī)變量分布列的建立以及期望的求法.
解：（1）、可能的取值為、、，
，，
，且當(dāng)或時(shí)，． ……………3分
因此，隨機(jī)變量的最大值為．
有放回抽兩張卡片的所有情況有種，
�。�
答：隨機(jī)變量的最大值為，事件“取得最大值”的概率為． ………4分
（2）的所有取值為．
時(shí)，只有這一種情況， ………5分
時(shí)，有或或或四種情況，
………6分
時(shí)，有或兩種情況． ………7分
，，． …………10分
則隨機(jī)變量的分布列為：
………11分
18．（本題滿分分）
本小題考查利用定義法（向量法）求空間幾何中的角度問(wèn)題。
解：（1）設(shè)正三棱柱—的側(cè)棱長(zhǎng)為．取中點(diǎn)，連．
是正三角形，．………1分
又底面?zhèn)让�，且交線為．
側(cè)面．連，則直線與側(cè)面所成的角為． ……………4分
在中，，解得． ………5分
此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為． …………6分
�。�2）解法一：過(guò)作于，連，
側(cè)面．
為二面角的平面角． ………9分
在中，，又
， ．
又……11分
在中，． …………13分
故二面角的余弦值得大小為． ………14分
�。�2）解法2：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．
則．…………8分
設(shè)為平面的法向量．
由 得．
取 ………10分
又平面的一個(gè)法向量 …………11分
�。� ……12分
…………13分
結(jié)合圖形可知，二面角的余弦值大小為．……14分
19．（本題滿分分）
本小題考查利用等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式求法、和項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及錯(cuò)位求和與放縮法求證數(shù)列不等式。
解：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，………………1分
，（）………………2分
=
即()………3分
當(dāng),得，即，解得：……………4分
………5分
即.………6分
（2）①，則，………8分
………9分
設(shè)① 則②………10分
①-②得：2+
=+=………12分
………13分
………14分
20．（本題滿分分）
本小題考查利用待定系數(shù)法直線與圓的方程，以及圓中定值問(wèn)題的求解。
解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，…………………1分
所以圓的半徑為，
故圓的方程為.……………2分
�。�2）設(shè)直線的方程為，即，
由直線與圓相切，得，即， ……………4分
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的方程為．………6分
(3)設(shè)，，則，，，
直線與軸交點(diǎn)，，
直線與軸交點(diǎn)，，………………10分
………………13分
故為定值2． ………………14分
21．（本題滿分分）
本小題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及用導(dǎo)數(shù)的方法討論方程根的情況。
解：（1）函數(shù)的定義域是
對(duì)求導(dǎo)得 …………2分
由 ，由
因此 是函數(shù)的增區(qū)間；
�。ǎ�1，0）和（0，3）是函數(shù)的減區(qū)間 ………………5分
�。�2）因?yàn)?/div>
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍就是函數(shù)的值域 …………6分
對(duì)
令
∴當(dāng)x=2時(shí)取得最大值，且
又當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于0，
進(jìn)而有無(wú)限趨近于－∞.因此函數(shù)的值域是 ,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ………………9分
�。�3）結(jié)論：這樣的正數(shù)k不存在。 ………………10分
下面采用反證法來(lái)證明：假設(shè)存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則
…………11分
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域知都是正數(shù)。
又由（1）可知，當(dāng)時(shí)，
∴=，=，
再由k>0，可得
由于 不妨設(shè) ，
由①和②可得
利用比例性質(zhì)得
即 …………13分
由于上的恒正增函數(shù)，且
又上的恒正減函數(shù)，且∴
∴，這與（*）式矛盾。
因此滿足條件的正數(shù)k不存在 ……………………14分
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