20、解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的右焦點，由右焦點到直線的距離為，

解得；又由橢圓的離心率為，，解得，

所以橢圓的方程為   4分

 (Ⅱ) ①若直線過橢圓的左頂點，則直線的方程是，

聯(lián)立方程組，解得，

故.  8分

②猜測的關(guān)系是：；證明如下：

設(shè)直線的方程為

聯(lián)立  消去得

設(shè)、,則. 

又  11分

故.

又, 

所以上式分子

， 

故.  13分

21、解：(Ⅰ)由題意知函數(shù)的定義域為，．

1分

由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；

由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是； …………2分

所以，當(dāng)時，函數(shù)有極小值為． …4分

 (Ⅱ)設(shè)，則函數(shù)的定義域為．

所以，． 5分

由解得，由可知，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)

遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)的最大值為． 7分

要使不等式恒成立，只需的最大值不大于1即可，即，

也就是，解得，

又因為，所以，故的取值范圍為． 8分

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)

的單調(diào)遞增； 9分

①若，即時，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)的最小值為

，故不滿足條件； 10分

②若，即時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故函數(shù)的最小值為，解得，故不滿足條件； 11分

③若，即時，函數(shù)在上為減函數(shù)，故函數(shù)的最小值為，解得，故不滿足條件； 13分

綜上所述，這樣的不存在． 14分